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10-2012

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HF-Praxis 10-2012

Applikation (rot) und 25

Applikation (rot) und 25 Ohm (violett). Wir starten unsere Betrachtungen bei den Werten 25 Ohm bzw. 100 Ohm. Beide rein ohmschen Widerstände werden durch den Effekt der Leitungstransformation der 450-Ohm-Leitung auf 2025 Ohm (rot) und 8100 Ohm (violett) transformiert. Das setzt jedoch voraus, dass die elektrische Länge der transformierenden Leitung genau λ¼ beträgt! Die elektrische Länge bzw. der Anteil der Wellenlänge, hier exakt λ¼, verkörpert, wie anschließend noch dargestellt, die zweite Stellschraube. Für die Leitungstransformation der 450 Ohm-Leitung sind damit die rein ohmschen Werte, ausgehend vom Reflexionsfaktor |r| = 0.33, als äußere Randbegrenzungen der Impedanzfläche im Diagramm abgesteckt. Ein weiterer Sonderfall ist in der „optimalen“ Anpassung zu finden, eine Transformation mit der Systemimpedanz, sie ist hellblau dargestellt, ihre Werte betragen 50 Ohm zu 4050 Ohm. Auch hier gilt für die elektrische Länge der transformierenden Leitung die Forderung auf λ¼ Wellenlängenanteil. Diese Transformation liegt mit den Impedanzwerten mittig zu den beiden Werten des eben konstruierten äußeren Randes. Das Beispiel veranschaulicht auch den Sinn einer Toleranz für den Reflexionsfaktor, die Transformation findet hier nur zwischen den einzelnen Werten quasi Punkt zu Punkt (50 ? zu 4050 ?) statt, was den Spielraum prinzipiell auf „Null“ setzt. Die Transformation funktioniert „bidirektional“, d.h. vom niederohmigen Bereich in den hochohmigen und umgekehrt. Sobald der Wellenlängenanteil größer wird als λ¼ bewegt sich der Verlauf in gleicher Weise über den kapazitiven Bereich des Smithdiagramms bis zum gewählten niederohmigen Startpunkt zurück. Eine Umdrehung im Smithdiagramm entspricht einer λ½-Wellenlänge. Um weitere Betrachtungen günstiger darstellen zu können, bedarf es einiger Vorbereitungen: Wir verschieben die transformierten Punkte aus der realen Achse (λ¼) heraus. Dazu wird im Vorgriff der Wellenlängenanteil auf ? = 0.06 eingestellt. Auf dem Kreis von |r| = 0.33, der ja unseren Toleranzbereich darstellt, werden acht Positionen in unterschiedlichen Farben markiert. Sie teilen den gesamten Winkelbereich (0° bis 180° und -180° bis 0°) des komplexen Reflexionsfaktors jeweils in 45°-Schritte auf. Diese markierten Maximalpositionen werden nun einzeln der Leitungstransformation (Wellenwiderstand 450 Ohm, λ = 0.06) unterzogen und die transformierten Positionen ins Smithdiagramm eingetragen, Bild 3. Verbindet man die im hochohmigen Bereich liegenden Punkte miteinander, so erhält man eine Kreisfläche, die alle Impedanzen einschließt, welche sich mit dieser Konstellation in den blauen Kreis transformieren lassen und innerhalb der gewählten Toleranzgrenze von |r| = 0.33 liegen. Die Größenverhältnisse der Kreise erwecken den Eindruck, dass der Spielraum im hochohmigen Bereich deutlich verkleinert sei. Es muss jedoch berücksichtigt werden, dass die komplexe Impedanz im Smithdiagramm nicht linear verläuft, im hochohmigen Bereich verlaufen die Linien konstanter Werte zunehmend gedrängt, was die Kreisfläche verkleinert. Interessant ist die veränderte Lage der transformierten Kreisfläche (grau). Sie zeigt welche Impedanzwerte, die innerhalb der Kreisfläche liegen, mit dieser Konstellation auf |r| ≤ 0.33 gebracht werden könnten. Liegt eine Impedanz außerhalb des grauen Kreises, ist dies nicht möglich, das Limit von |r| = 0.33 wird überschritten. Ziel dieser Darstellung ist, auf einen Blick zu erkennen, ob mit dem gewählten Parameter die angestrebte Anpassung überhaupt zu realisieren ist. Bild 2: Ohmsche Werte der Leitungstransformation einer 450-Ohm-Leitung So kann leicht entschieden werden, welche Stellschrauben zu bedienen sind, um eine Anpassung erfolgreich durchzuführen. Bild 4 demonstriert eine Veränderung der Stellschraube „Toleranzgrenze des Reflexionsfaktors“. Es ist sofort ersichtlich, dass eine Verkleinerung oder Vergrößerung der Toleranzgrenzen (blauer Kreis) synchron auch den transformierten Bereich verringert bzw. ausweitet. In Bild 4 sind die zusammenhängenden Flächen für |r| = 0.33 mit einem helleren Farbton unterlegt, während die zum Reflexionsfaktor |r| = 0.5 gehörenden dunkler hinterlegt sind. Eine Erhöhung der noch tolerierten Reflexion ist eher unerwünscht, verringert man die Grenze, wird der Spielraum dadurch enger gefasst. Bild 3: Impedanzbereiche der Transformation einer 450-Ohm- Leitung bei λ=0.06 36 hf-praxis 10/2012

Applikation Bild 4: Zusammenhänge unterschiedlicher Toleranzgrenzen für den Reflexionsfaktor Anhand der Darstellung im Smithdiagramm kann eventuell leichter ein Mittelweg gefunden werden. Die erste beschriebene Stellschraube ist vergleichbar mit einer Zoomfunktion auf die Kreisflächen. Wie bereits schon angedeutet, beeinflussen sich die Parameter bzw. Stellschrauben gegenseitig. Durch Verschieben der transformierten Kreisflächen auf dem Diagramm (bei konstantem Limit der |r|-Toleranz) wird auch deren Durchmesser beeinflusst. Diese Veränderung wird durch die Lage auf der nichtlinearen Impedanz-Skalierung im Smithdiagramm aufgeprägt, ändert jedoch nichts an der Toleranz des Reflexionsfaktors. Bild 5: Verschiebung der Impedanzfläche durch Veränderung der elektrischen Länge 2. Stellschraube: λ-Anteil Die Veränderung der Kreisfläche fällt beim zweiten Parameter, dem wir uns nun detailliert widmen wollen, verstärkt ins Gewicht. Die elektrische Länge der transformierenden Leitung. Diese Stellschraube zeigt sich in zwei Abhängigkeiten: Zunächst ist das die mechanische Länge der Leitung (auch der Stripline) und dann der Verkürzungsfaktor, welcher vom verwendeten Material des Dielektrikums abhängt, was letztendlich zur elektrischen Länge führt. Für die stattfindende Transformation ist jedoch der Anteil der elektrischen Länge an der Wellenlänge der beteiligten Frequenz(en) maßgebend. Dabei ist zu berücksichtigen, dass nach jeder vollen Umrundung im Smithdiagramm, und das ist jeweils mit ?½ erreicht, der ursprüngliche Ausgangspunkt der Transformation wieder erreicht ist. Der Wellenlängenanteil stückelt sich u.U. wiederholt in λ½-Abschnitte der jeweiligen Frequenz. Das bedeutet, dass die Verschiebung der Kreisfläche nicht allein für die elektrische Länge, sondern in unmittelbarem Zusammenhang zu allen Frequenzen, deren λ½-Vielfaches mit der Transformation übereinstimmt, zu sehen ist. Das kann von Vorteil sein, wie an einem Beispiel noch aufgezeigt werden wird. Für die folgende Betrachtung gehen wir zunächst von konstanter Frequenz aus und drehen an der Stellschraube „elektrische Länge der transformierenden Leitung“. Bild 5 zeigt die Auswirkung auf die Lage der transformierten Kreisfläche innerhalb vom Smithdiagramm. Zu den λ-Anteilen 0.02 und 0.06 sowie 0.12 wurden jeweils die zum Toleranzlimit von |r| = 0.33 möglichen Kreisflächen der Impedanz konstruiert. Man erkennt, dass sich der Verlauf der Kreisflächen entlang der Randbegrenzungslinien (rot und violett), die auf die ohmschen Werte aufsetzen, orientiert. Verkleinert man die Schrittweite der λ-Anteile zu einer quasi kontinuierlichen Veränderung wird klar, dass eine bestimmte Fläche des Impedanzbereichs durchfahren werden kann. Dieser durch die elektrische Länge bzw. den λ-Anteil einstellbare Bereich ist in Bild 6 grau hervorgehoben. Ausgehend von den gewählten niederohmigen Startpunkten auf der realen Achse ist der Bereich zur elektrischen Länge von λ 0 bis ¼ dunkelgrau markiert, er repräsentiert den induktiven Bereich und wird bei Transformationen vom niederohmigen in den hochohmigen Bereich durchlaufen. Erfolgt die Transformation umgekehrt, also hochohmig in niederohmig, dann verläuft die Transformation im kapazitiven Bereich (hellgrau), wobei die elektrische Länge von λ¼ bis ½ liegt. Anhand dieser Grafik könnte bereits grob abgeschätzt werden, ob sich eine in der Praxis vorliegende Impedanz überhaupt erfolgreich transformieren lässt, dazu muss sie im grau unterlegten Feld liegen und die elektrische Länge der Leitung entsprechend gewählt werden. Für die Wahl der elektrischen Länge ist ein weiterer Umstand zu beachten. Bereits an Bild 5 ist zu erkennen, dass die Verteilung der Lage der Kreisflächen über dem Wert des λ-Anteils recht ungleichmäßig verläuft. Diese Information wurde in Bild 7 besonders hervorgehoben, ab dem λ-Wert von 0.05 erfolgt eine schrittweise gleichmäßige Erhöhung der Anteile bis hin zum Wert von λ 0.2, die Verteilung der Positionen erweist sich jedoch als nicht linear. Die dicht gedrängten Markierungen verdeutlichen, dass sich dort im hochohmigen Bereich die „Stellschraube λ-Anteil“ immer filigraner gestaltet. 3. Stellschraube: Wellenwiderstand Als dritte Stellschraube ist der Wellenwiderstand der transformierenden Leitung zu sehen. Wie bereits angedeutet, bewirkt ein höherer Wellenwiderstand gegenüber der Systemimpedanz eine Verschiebung nach rechts hf-praxis 10/2012 37

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