Messtechnik
Messtechnik Anspruchsvoll, aber kein Hexenwerk Impedanzmessung mit dem VNA bei definiertem Fehler Es werden Methoden zur Messung der Impedanz mit einem VNA und zur Berechnung des maximalen Fehlers dabei vorgestellt. Quelle: Measurement of electronic component impedance using a Vektor Network Analyzer Copper Mountain Technology, www.coppermountaintech.com übersetzt und leicht gekürzt von FS Die Impedanz ist ein wichtiger Parameter zur Beschreibung einzelner Schaltungskomponenten oder einer Schaltung als Ganzes. Denn sobald die Impedanz bestimmt ist, kann man andere Parameter wie Widerstand, Induktivität, Kapazität, Streukoeffizient und Gütekoeffizient berechnen, ein Ersatzschaltbild zeichnen und somit das Verhalten über der Frequenz vorhersagen. Messung der Impedanz Klassische Methoden beruhen auf Brücken (mit oder ohne Autoabgleich), Resonatoren, Präzisionsstrom- und -spannungsmessern und Netzwerkanalysatoren. Moderne Vektor- Netzwerkanalysatoren ermitteln die Impedanz in einem breiten Band, das teilweise den GHz-Bereich abdeckt. Ein- und Zweitorschaltungen für S-Parameter-Messungen ermöglichen es, die Impedanz von Milliohm bis zu einigen zehn Kiloohm zu bestimmen. Die Fehlerquellen bei solchen Messungen sind der Analysator selbst und die Messobjekthalterung. Hier werden auch erstere Einschränkungen betrachtet, während geeignete De-Embedding-Techniken den Einfluss der Halterung minimieren können. Heutige VNAs erlauben hochpräzise S-Parameter-Messungen mit Ein- und Mehrtorgeräten. Dies wird durch Algorithmen zur VNA-Präzisionskalibrierung erreicht [1]. Verifizierungsmethoden zur Bestimmung der maximalen Fehler bei Betragsund Phasenmessungen für Transmissions- und Reflexionskoeffizienten sind verfügbar. Bei der Unsicherheitsanalyse von VNAs kann neben der Berechnung des maximalen Fehlers auch eine Kovarianzmatrix-Methode [2, 3] zu Berechnung des quadratischen Fehlers verwendet werden. Bei Kenntnis der Wahrscheinlichkeitsverteilung des Fehlers können der quadratische und der maximale Wert des Fehlers durch einen Koeffizienten in Beziehung gesetzt werden. Betrachten wir die Impedanzund Fehlerberechnungsmethoden auf Grundlage der Ergebnisse von S-Parameter-Messungen mit einem VNA! Die Methode der Linearisierung ist die Grundlage für das mathematische Werkzeug der indirekten Messfehlerberechnung. VNAs mit einem oder zwei Toren haben sich in letzter Zeit weit verbreitet. Eintoranalysatoren (sogenannte Reflektometer) ermöglichen die Messung des komplexen Reflexionskoeffizienten, während Zweitorgeräte sowohl diesen als auch den komplexen Transmissionskoeffizienten messen. Wir wollen betrachten, wie man die Impedanz eines Prüflings mit zwei Anschlüssen bestimmen kann. Das Aufmacherbild zeigt dazu drei mögliche Anschlusskonfigurationen. Jeweils muss eine geeignete Vorrichtung/Halterung verwendet werden, um den Prüfling mit den Anschlüssen des VNAs zu verbinden. Die erste Konfiguration dient der Messung des Reflexionskoeffizienten mit einem Reflektometer oder einem Zweitor-VNA. Diese Konfiguration ist zwar grundlegend, hat aber einige Einschränkungen in ihrer Anwendung. Die anderen Konfigurationen sind nur mit einem Zweitor-VNA möglich, da auf Übertragungsmessungen ausgerichtet. Fehler bei der Impedanzmessung Konfiguration 1 misst den Reflexionskoeffizienten einer Last, die der Prüfling zwischen dem Mittelleiter und dem Schirm darstellt. Bekanntlich kann diese Last- oder Eingangsimpedanz mit folgender Formel berechnet werden: Dabei ist Z 0 der Wellenwiderstand der Übertragungsleitung und S 11 der gemessene komplexe Reflexionskoeffizienten, wobei der Index die Konfigurationsnummer angibt. Die Messfehlerdispersion D Z der Eingangsimpedanz kann aus dem bekannten Fehler D∆S des komplexen Reflexionskoeffizienten (oder des komplexen Transmissionskoeffizienten für die Konfigurationen 2 und 3) unter Verwendung der Linearisierungsmethode mit 40 hf-praxis 2/2023
Messtechnik Relativer Messfehler über dem Impedanzwert der folgenden Formel berechnet werden: J eine Funktionsableitung nach der Messgröße (Jacobi) und das Sternchen (*) bezieht sich auf einen komplexen Konjugationsoperator. Zur Berechnung der Eingangsimpedanz nach Formel (1) lautet die analytische Form der Ableitung nach S 11 : In den technischen Daten eines VNAs wird der maximale Messfehler für den Betrag des Reflexionskoeffizienten normalerweise angegeben. Dieser Fehler definiert auch den maximalen Phasenfehler [4]. Es sollte berücksichtigt werden, dass der maximale Betragsfehler des Reflexionskoeffizienten (oder Transmissionskoeffizienten) vom gemessenen S-Parameter abhängt. Die Fehlerdispersion für einen komplexen Reflexionskoeffizienten kann auf Basis von so berechnet werden: Wobei k ein Skalierungsfaktor ist, der bei gleichmäßiger Messfehlerverteilung 3 und bei gleichmäßiger Gaußscher Fehlerverteilung 9 beträgt. Theoretisch gibt es keinen Begriff wie die maximale Abweichung vom Mittelwert bei der Gaußschen Verteilung. In der Praxis jedoch, unter der Annahme, dass k = 9 ist, ergibt die Formel (4) den maximalen Fehler, der mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,99 nicht größer als der angegebene Fehler ist. Außerdem erhält man durch Einsetzen von (4) und (3) in (2) die Fehlerstreuung für die Eingangsimpedanz: Auch moderne Analysatoren weisen einen kleinen Messfehler des komplexen Reflexionskoeffizienten auf; daher ist die Streuung von Real- und Imaginärteil gleich und beträgt die Hälfte der Messfehlerstreuung für die Eingangsimpedanz, berechnet nach Formel (5). Der maximale Fehler wird mit folgender Formel berechnet: Dabei ist der quadratische Fehler der Eingangsimpedanz. Die Analyse der Formeln (5) und (6) zeigt, dass die Messfehlerstreuung der Eingangsimpedanz und somit der maximale Fehler deutlich zunimmt, wenn |1-S 11 | abnimmt. Der Reflexionskoeffizient nahe 1 tritt bei bestimmten Frequenzen für eine Kurzschlusslast und eine Leerlauflast auf. Folglich ist die Konfiguration 1 nicht für Impedanzmessungen mit sehr niedrigen und sehr hohen Werten geeignet. Es sollte zudem beachtet werden, dass ein minimaler Fehler für Testobjekte mit einer Eingangsimpedanz |Z 1 | nahe der charakteristischen Impedanz der Übertragungsleitung auftritt. Messung einer niedrigen Impedanz Dazu sollte man die Konfiguration 2 verwenden und den Übertragungskoeffizienten einer Zweitor-THRU messen, bei der der Prüfling den Signalleiter und den Schirm verbindet. Nur bei niederohmigen Prüflingen ist der Übertragungskoeffizient der THRU anders als 1. Daher kann in diesem Fall die Impedanz des Prüflings mit der folgenden Formel berechnet werden, wobei S 21 der gemessene Wert des komplexen Transmissionskoeffizienten ist: Der analytische Ausdruck für die Ableitung nach S 21 bei der Berechnung der Impedanz nach dieser Formel lautet wie folgt: Unter Verwendung der bekannten effektiven Parameter eines Zweitor-VNAs kann man den maximalen Fehler des Transmissionskoeffizienten bestimmen. Dessen Fehlerstreuung lässt sich in ähnlicher Weise wie in Gleichung (4) berechnen: Der maximale Fehler der Reflexions- und Transmissionskoeffizienten eines bestimmten VNAs tritt bei phasengleicher Summierung mehrerer Summanden auf [4], was sehr unwahrscheinlich ist. Daher ist die Annahme der der Gaußschen Natur des Fehlers (d.h. k = 9) im Lichte des zentralen Grenzwertsatzes viel sinnvoller. Setzt man nun (9) und (8) in (2) ein, so erhält man die Fehlerstreuung der Impedanz: Der maximale Fehler kann anhand folgender Formel berechnet werden: Analysiert man die Formeln (10) und (11), so sieht man, dass die Messfehlerstreuung der Impedanz und der maximale Fehler deutlich zunehmen, wenn |1-S 21 | abnimmt. Wenn die Impedanz des Prüflings niedrig ist, ist der Betrag von S 21 jedoch deutlich kleiner als 1. Messung mittlerer und hoher Impedanzen Hierbei sollte man die Konfiguration 3 verwenden und den Übertragungskoeffizient einer Zweitor-THRU messen, wobei der Prüfling in die Signalleiter-Lücke eingefügt ist. Wenn seine Impedanz hoch ist, wird der Betrag des THRU-Übertragungskoeffizienten deutlich unter 1 liegen. In diesem Fall können die Impedanz des Prüflings und ihre Ableitung anhand der folgenden Formeln berechnet werden: Die Dispersion wird mit Formel (9) berechnet. Zwecks höherer Genauigkeit sollte man berücksichtigen, dass der maximale Fehler bei der Messung des Transmissionskoeffizienten von der Größe seines Betrags abhängt. Setzt man (9) und (13) in (2) ein, so erhält man die Fehlerdispersion von Impedanzmessungen für die Konfiguration 3: Der maximale Fehler kann mit folgender Formel berechnet werden: hf-praxis 2/2023 41
